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Kreis Viersen
Die 16 - quadratischer geht es nicht

Kreis Viersen: Die 16 - quadratischer geht es nicht
Kreis Viersen. Ein Mathematik- und Physiklehrer analysiert die Zahl, die das neue Jahr prägt. Von Heiner Platzbecker

Eingeschlossen zwischen der 15 und der 17 fristet die 16 ein unauffälliges Dasein. Zahlentheoretisch ist sie eine Zweierpotenz, eine Quadratzahl und sogar das Quadrat einer Quadratzahl und damit die kleinste natürliche Biquadratzahl: 16 = 42.

Dürers magisches Quadrat

Bei einem magischen 4 x 4-Quadrat müssen die Zahlen 1 bis 16 so in ein quadratisches Schema geschrieben werden, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder Diagonalen die gleiche ist.

Das berühmteste magische 4 x 4-Quadrat findet man in Albrecht Dürers Kupferstich "Melancholia I" (siehe oben). Über dem Kopf des Engels sieht man ein magisches Quadrat mit der Summe 34, jedoch nicht nur in den Zeilen, Spalten und Diagonalen, sondern auch als Summe der Zahlen in den 2 x 2-Quadraten in der Mitte und den vier Ecken.

Das Entstehungsjahr erkennt man zusammen mit Albrecht Dürers Initialen (4=D und 1=A) in der untersten Zeile des Zauberquadrates. Magische Quadrate vom "Dürertyp" kann man wie folgt konstruieren:

Man vertauscht die diagonalen oder die nichtdiagonalen Zahlen des (ersten) Ausgangsquadrates, um die beiden Versionen des magischen Viererquadrates zu erhalten.

Die 16 Kinder im Mathematikum

Eines der verblüffendsten Experimente im Mathematikmuseum "Mathematikum" in Gießen ist das 16-Kinderpuzzle. Auf den beiden Bildern tummeln sich Kinder mit mathematischen Objekten. Die obere Hälfte eines jeden Bildes besteht aus zwei Teilen. Wenn man diese vertauscht, erkennt man wieder viele spielende Kinder - allein, wenn man nachzählt, sind es auf dem linken Bild 16 und auf dem rechten Bild nur noch 15 Kinder. Wo bleibt das 16. Kind? Die Lösung des Puzzles ist mathematischer und psychologischer Natur.

Zunächst zeichne ich im oberen Bild sechs Striche. Wenn man jetzt die oberen zwei Hälften des Bildes wie im Kinderpuzzle vertauscht, werden aus den sechs Strichen nur noch fünf, die aber ein wenig länger sind. Psychologen müssten jetzt genauer analysieren, welche Prozesse bei der "Wahrnehmung" dieser Striche in unserem Gehirn ablaufen.

Eine alte Abituraufgabe

Die Tatsache, dass die 16 eine Zweierpotenz und eine Biquadratzahl ist, führt in der Zahlentheorie und in der Analysis zu tiefgründigen Fragestellungen. Dies soll an einer Abituraufgabe, die vor zehn Jahren dezentral gestellt wurde, demonstriert werden.

Untersuchungen von Funktionsgraphen sind das tägliche Brot des Mathematikunterrichtes in der Oberstufe.

Abgebildet ist der Graph der Funktion f mit dem Term f(x) = ln(x)/x für x>0. Dabei ist ln die natürliche Logarithmusfunktion. Was hat dieser Graph mit der Zahl 16 zu tun? Im Allgemeinen sind die Zahlen xy und yx verschieden. Grundzahl und Hochzahl darf man nicht vertauschen. Abgesehen von dem trivialen Fall x=y gibt es nur ein einziges Paar natürlicher Zahlen, für das die Vertauschung von Grund- und Hochzahl keine Wertänderung der Potenz bewirkt: 24 = 42 =16. Wenn er erkennt, dass die Gleichungen xy = yx und ln(x)/x = ln(y)/y (x,y>0) zueinander äquivalent sind und wenn er das Monotonieverhalten der Funktion mit dem Term f(x) = ln(x)/x für positive x mit den schulüblichen Mitteln analysiert, sollte auch ein Q2-Schüler des Abiturjahrgangs 2016 den Beweis der obigen Aufgabe zum Kommutativgesetz erbringen können!

(Brüche sind in dieser Rechenaufgabe mit dem Zeichen / dargestellt).

Quelle: RP
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