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Krefeld
17 - Gauss' Husarenstück

Krefeld: 17 - Gauss' Husarenstück
Carl Friedrich Gauss auf einer DDR-Briefmarke. Der junge Mathematiker hat die Konstruktions-Grundlagen eines regelmäßigen 17-Ecks entdeckt. FOTO: Platzbecker
Krefeld. Die Zahl 17 - ein unbekanntes Wesen. Der Fischelner Mathematiker Heiner Platzbecker lädt zu einer vergnüglich-verblüffenden Erkundungstour ein. Von Heiner Platzbecker

Was haben der abgebildete fünfeckige Weihnachtsstern und die Briefmarke gemein? Beide verbindet eine der aufregendsten Entdeckungen der Mathematikgeschichte: die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks durch Carl Friedrich Gauss.

In seinem Kultbuch "Untersuchungen über höhere Arithmetik" schreibt Gauss im Jahre 1801: "Es ist sicherlich sehr merkwürdig, dass, während schon zu Euklids Zeiten die geometrische Teilbarkeit des Kreises in drei und fünf Teile bekannt war, diesen Entdeckungen im Verlauf von 2000 Jahren nichts hinzugefügt worden ist." In Euklids Elementen (etwa 300 v. Chr.) und auch bei Ptolemaios findet man raffinierte Konstruktionen von regelmäßigen Drei-, Fünf- und Fünfzehnecken. Allein - keine anderen regelmäßigen n-Ecke werden bei den "Griechen" und in den folgenden zwei Jahrtausenden untersucht. Die "Griechen" konnten regelmäßige Fünfecksterne basteln, aber zum Beispiel kein regelmäßiges Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren. Die geniale Idee, die der junge Gauss am 30. März 1796 in sein Tagebuch eintrug, soll am regelmäßigen Fünfeck erläutert werden: Da das Fünfeck regelmäßig ist, kann man fünf gleich lange Pfeile vom Mittelpunkt M zu den fünf Eckpunkten einzeichnen. Wenn man jetzt diese fünf Pfeile aneinandersetzt (addiert), erhält man den Nullpfeil. Physikalisch bleibt der Punkt M in Ruhe, wenn fünf gleich große Kräfte in die eingezeichneten Pfeilrichtungen wirken.

Das regelmäßige Fünfeck mit den fünf gleich langen Pfeilen. FOTO: Platzbecker

Damit gilt 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0. Diese Gleichung kann man lösen. Setzt man z4 = 1/z und z3 = 1/ z2, so gilt (Vorsicht!) (z + 1/z)2 + (z + 1/z) - 1 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Lösung z + 1/z = z + z4 = x mit x = 1/2 · (Wurzel 5 - 1).

Jetzt kommt der entscheidende Punkt: Quadratwurzeln kann man zum Beispiel nach dem Satz des Pythagoras mit Zirkel und Lineal konstruieren! Also kann im obigen Fünfeck die Strecke MX konstruiert werden. Das Lot im Mittelpunkt dieser Strecke schneidet den Kreis in den "Eckpunkten" z und z4. Teile dieser Lösung zum regelmäßigen Fünfeck kann man auf das regelmäßige Siebzehneck übertragen.

Dieser Weihnachtsstern hat ebenfalls fünf Ecken. FOTO: Platzbecker

Gauss legt den Eckpunkt 1 auf die x-Achse. Die verbleibenden 16 Eckpunkte (beim Fünfeck sind dies 4) werden so in zwei Gruppen zusammengefasst, dass die Summen und die Produkte dieser Zahlen bestimmte algebraische Gesetze erfüllen. Beim Fünfeck bilden z und z4 sowie z2 und z3 jeweils eine Gruppe. Jetzt unterteilt Gauss jede Gruppe mit acht Eckpunkten geeignet in zwei Gruppen zu je vier Werten. Diese Vierergruppen unterteilt er wie beim Fünfeck in passende Zweiergruppen. Am Ende erhält er wieder eine quadratische Gleichung für x = z + z16. Na ja - und jetzt wird es wild: Aus den obigen Überlegungen erhält man für x den folgenden Term:

Es treten nur quadratische Wurzeln auf. Also ist die "wilde Zahl" x prinzipiell konstruierbar. Hieraus ergibt sich dann für die Seitenlänge s der Term s = on2·(1-x). Also ist auch s konstruierbar. Für Insider: x ist der Kosinus von 360°/17 (0.93247...) und s die Seitenlänge des regelmäßigen 17-Ecks im Einheitskreis (0.36749...).

Gauss hat nur die Grundlagen entdeckt! Konkrete Konstruktionen hat er anderen Mathematikern überlassen.

Detailliertere Überlegungen zur obigen Herleitung und zu konkreten Konstruktionen mit geistigem Tiefgang findet der mathematische Gourmet beispielsweise unter 1. http:www.mathematik-olympiaden.de/public/17_257_65537 und 2. A. Ostermann, G. Wanner: Geometry by is History, S.241 ff..

Quelle: RP
 
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