Claus Kleber wurde im September 1955 in Reutlingen als erster von zwei Söhnen des Diplomingenieurs Dr. Peter Kleber und seiner Ehefrau Margot geboren. Die Grundschule besuchte er erst in Vaduz/Liechtenstein, später in Bensberg bei Köln. 1974 machte er das Abitur am dortigen Otto-Hahn-Gymnasium.

Ab dem Wintersemester 1974/1975 studierte Kleber Rechtswissenschaften in Tübingen, unterbrochen von zwei Auslandssemestern 1978 und 1979 in Lausanne. Während des Studiums war Kleber freier Mitarbeiter des Südwestfunks in Tübingen und Baden-Baden.

Nach dem zweiten Staatsexamen war Kleber als Anwalt in einer wirtschafts- und wettbewerbsrechtlich ausgerichteten Kanzlei in Stuttgart tätig. 1986 wurde er an der Juristischen Fakultät in Tübingen mit der Schrift „Privater Rundfunk – Gestaltungsmöglichkeiten im Verfassungsrahmen“ zum Dr. iur. promoviert.

Im Januar 1985 wurde Kleber (hier mit seiner „heute-journal“-Kollegin Gundula Gause) Studioleiter des Südwestfunks in Konstanz. Seit 1986 berichtete er fünfzehn Jahre lang als Radio- und TV-Korrespondent für ARD-Anstalten aus den USA. Er stieg vom Hörfunkredakteur zum Studioleiter in Washington D.C. auf. Von dort berichtete Kleber live über die Terroranschläge am 11. September 2001.

Vor seinem Wechsel zum ZDF war er zuletzt ARD-Studioleiter in London. Seit Anfang 2003 ist er Leiter und Moderator des ZDF-heute-journals. Zudem besuchte Kleber das Camp Moria auf der Insel Lesbos, um mit den Flüchtlingen vor Ort für den Film „Unantastbar“ zu sprechen.

Kleber hat die wichtigsten US-Politiker persönlich kennengelernt und interviewt, darunter beide Präsidenten Bush und Bill Clinton.

Claus Kleber ist seit 1982 mit der Ärztin Renate Grziwok (r.) verheiratet. Gemeinsam haben sie zwei Töchter, Caterine (l.) und Alexandra (nicht im Bild).

Beim „heute journal“ am 11. September 2020 trat im Hintergrund der Sendung eine Person in blauer Schutzkleidung auf. Bei dem Auftritt handelte es sich um ein Projekt des Künstlers Chr. Jankowski, der damit „systemrelevante Menschen“, etwa Pflegekräfte, sichtbar machen wollte. Claus Kleber wird am 30. Dezember 2021 zum letzten Mal das „heute journal“ moderieren.